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連分數(shù)
數(shù)學中的概念
連分數(shù)叫做有限連分數(shù)。
基本信息
| 外文名 | continued fraction |
| 學科 | 數(shù)學 |
| 分類2 | 無限連分數(shù) |
| 分類1 | 有限連分數(shù) |
正文
繁分數(shù)
叫做有限連分數(shù)。常簡記為
。當
是整數(shù)、
是正整數(shù)時，則叫做有限簡單連分數(shù)，當n無限時,
稱為無限簡單連分數(shù)。通常連分數(shù)均指簡單連分數(shù)。給定一有理數(shù)
，用熟知的輾轉相除法，可展成有限連分數(shù)即
，其中
是輾轉相除法中依次得到的不完全商，規(guī)定
，則表法惟一。如果α是一個無理數(shù)，那么α可展成無限連分數(shù)，且表法惟一。反之，一有限連分數(shù)表一有理數(shù)，一無限連分數(shù)表一無理數(shù)。
漸近分數(shù)和完全商 在連分數(shù) 中取
漸近分數(shù)有如下簡單關系：
①
②
③
④
由此可得
存在；⑤設
，且
，則
,故在分母不大于
的諸分數(shù)中, 
與α最接近；⑥設
,則
；反之，若有一個有理數(shù)適合
，則
必為α的某個漸近分數(shù)。
完全商有如下簡單性質：①
,一般地,；②
由此可推出實數(shù)展成連分數(shù)時表法惟一。該實數(shù)為有理數(shù)時，規(guī)定最后一個
。
循環(huán)連分數(shù) 
設 ,如果
時，對某個固定的正整數(shù)k,有
,那么這樣的連分數(shù)叫做循環(huán)連分數(shù)，這種最小的 k叫做它的周期，記為
。例如 
等。運用漸近分數(shù)、完全商的性質以及抽屜原理,J.-L.拉格朗日證明了有關循環(huán)連分數(shù)的一個重要定理：一個連分數(shù)為循環(huán)連分數(shù)，則此數(shù)是某個有理系數(shù)的二次不可約多項式的根；反之亦然。
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這家伙太懶了，什么都沒寫！
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