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柯西不等式
求解不等式的重要工具
柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】，因?yàn)椋呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。柯西不等式是由柯西在研究過程中發(fā)現(xiàn)的一個(gè)不等式，其在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著十分廣泛的應(yīng)用，所以在高中數(shù)學(xué)提升中非常重要，是高中數(shù)學(xué)研究內(nèi)容之一。
基本信息
| 中文名 | 柯西不等式 |
| 外文名 | Cauchy-Buniakowsky-SchwarzInequality |
| 提出者 | |
| 提出時(shí)間 | 18世紀(jì) |
| 應(yīng)用學(xué)科 | 數(shù)學(xué) |
| 推廣者 | 赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨 |
收起
提出者簡介
柯西（CauchyAugustin-Louis，1789－1857），法國數(shù)學(xué)家，1789年8月21日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。
他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功底是相當(dāng)深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理、公式都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。在數(shù)學(xué)寫作上，他被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，以《分析教程》（1821年）和《關(guān)于定積分理論的報(bào)告》（1827年）最為著名。不過他并不是所有的創(chuàng)作都質(zhì)量很高，因此他還曾被人批評“高產(chǎn)而輕率”，這點(diǎn)倒是與數(shù)學(xué)王子（高斯）相反。據(jù)說，法國科學(xué)院《會刊》創(chuàng)刊的時(shí)候，由于柯西的作品實(shí)在太多，以致于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費(fèi)用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來規(guī)定論文最長的只能夠到四頁。柯西較長的論文因而只得投稿到其它地方。
定義定理
向量形式
三角形式
概率論形式
積分形式
一般形式
設(shè)V是一線性空間，在V上定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，稱為內(nèi)積，記做
，它具有以下性質(zhì)：
1、
2、
3、
4、
，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)
并定義α的長度
，則柯西不等式表述為：
驗(yàn)證推導(dǎo)
二維形式的證明
等號在且僅在
即時(shí)成立。
向量形式的證明
積分形式的證明
即
一般形式的證明
剩余幾種情形都是一般情形的特例，完全可以用一般情形的證明方法來證。
定理推廣
復(fù)變函數(shù)中的柯西不等式
若函數(shù)
在區(qū)域D及其邊界上解析，
內(nèi)一點(diǎn)，以
為圓心做圓周
，只要
及其內(nèi)部G均被D包含，則有：
其中M是的最大值。
證明：有柯西積分公式可知
所以
應(yīng)用例子
巧拆常數(shù)證不等式
例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且互不相等，求證：
。
證明：將a+b+c移到不等式的左邊，化成：
=
附用基本不等式證設(shè)，則所證不等式等價(jià)于
因?yàn)?/span>
。所以上式顯然成立。
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