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分析力學是力學中的一個分支，它以廣義坐標為描述質(zhì)點系的變量，以牛頓運動定律為基礎(chǔ)，運用數(shù)學分析的方法來研究宏觀現(xiàn)象中的力學問題。1788年，J.-L.拉格朗日出版了《分析力學》一書，為這門學科奠定了基礎(chǔ)。 分析力學是一種非常有用的工具，它通過對物體之間的相互作用進行建模和分析，可以幫助我們更好地理解物體的運動和力學行為。它的應(yīng)用范圍非常廣泛，包括天體力學、固體力學、流體力學等等。 然而，分析力學也有一些限制。例如，它通常只適用于宏觀世界的力學問題，對于微觀世界的量子力學問題則不適用。此外，分析力學需要假設(shè)物體之間的相互作用是局部的，這意味著它無法處理非局部的相互作用的問題。 總之，分析力學是一個非常有價值的工具，它為我們提供了研究力學問題的一種有效方法，但在應(yīng)用時也需要考慮它的限制。分析力學
1788年牛頓提出的理論力學
分析力學（analytical mechanics）一般力學的一個分支，以廣義坐標為描述質(zhì)點系的變數(shù)，以牛頓運動定律為基礎(chǔ)，運用數(shù)學分析的方法研究宏觀現(xiàn)象中的力學問題。1788年出版的 J.-L.拉格朗日的《分析力學》一書，為這門學科奠定了基礎(chǔ)。
基本信息
中文名
分析力學
外文名
analytical mechanics
提出者
牛頓
提出時間
1788年
適用領(lǐng)域
力學
出處
《分析力學》
性質(zhì)
理論力學的一個分支，它通過用廣義坐標為描述質(zhì)點系的變數(shù)，運用數(shù)學分析的方法，研究宏觀現(xiàn)象中的力學問題
拼音
fèn xī lì xué
基本概況
經(jīng)典力學最初的表達形式由牛頓給出，大量運用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學（有時也叫“牛頓力學”）。拉格朗日，哈密頓，雅可比等人使用廣義坐標和變分法，建立了一套同矢量力學等效的力學表述方法。同矢量力學相比，分析力學的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力學中極為復雜的問題，運用分析力學可以較為簡便的解決。分析力學的方法可以推廣到量子力學系統(tǒng)和復雜動力學系統(tǒng)中，在量子力學和非線性動力學中都有重要應(yīng)用。
不同的系統(tǒng)所遵循的運動微分方程不同；研究大量粒子的系統(tǒng)需用統(tǒng)計力學；量子效應(yīng)不能忽略的過程需用量子力學研究。但分析力學知識在統(tǒng)計力學和量子力學中仍起著重要作用。
1788年拉格朗日出版的《分析力學》是世界上最早的一本分析力學的著作。分析力學是建立在虛功原理和達朗貝爾原理的基礎(chǔ)上。兩者結(jié)合，可得到動力學普遍方程，從而導出分析力學各種系統(tǒng)的動力方程。
1834年，哈密頓推得用廣義坐標和廣義動量聯(lián)合表示的動力學方程，稱為正則方程。哈密頓體系在多維空間中，可用代表一個系統(tǒng)的點的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學問題。
20世紀分析力學對非線性、不定常、變質(zhì)量等力學系統(tǒng)作了進一步研究，對于運動的穩(wěn)定性問題作了廣泛的研究。
分類
分析力學是適合于研究宏觀現(xiàn)象的力學體系，它的研究對象是質(zhì)點系。質(zhì)點系可視為宏觀物體組成的力學系統(tǒng)的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質(zhì)點系，質(zhì)點數(shù)可由一到無窮。又如太陽系可看作自由質(zhì)點系，星體間的相互作用是萬有引力，研究太陽系中行星和衛(wèi)星運動的天體力學，同分析力學密切相關(guān)，在方法上互相促進；工程上的力學問題大多數(shù)是約束的質(zhì)點系，由于約束方程類型的不同，就形成了不同的力學系統(tǒng)。例如，完整系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)、定常系統(tǒng)、非定常系統(tǒng)等。
基本原理
有虛功原理和達朗伯原理。前者是分析靜力學的基礎(chǔ)；兩者結(jié)合，可得到動力學普遍方程，從而導出分析力學各種系統(tǒng)的動力方程。
研究的對象
是質(zhì)點系。質(zhì)點系可視為一切宏觀物體組成的力學系統(tǒng)的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合
體都可看作質(zhì)點系，質(zhì)點數(shù)可由 1到無窮。又如太陽系可看作自由質(zhì)點系。研究太陽系中行星和衛(wèi)星運動的天體力學同分析力學密切相關(guān)，在方法上互相促進。分析力學對于具有約束的質(zhì)點系的求解更為優(yōu)越，因為有了約束方程，系統(tǒng)的自由度就可減少，運動微分方程組的階數(shù)隨之降低，更易于求解。
主要內(nèi)容
導出各種力學系統(tǒng)的動力方程，如完整系統(tǒng)的拉格朗日方程、正則方程，非完整系統(tǒng)的阿佩爾方程等；
研究力學的變分原理，如哈密頓原理、最小作用量原理等；尋求各種力學定理和積分，如對應(yīng)于可遺坐標的廣義動量積分等；探討各種動力方程的求解方法以及一切與這個目標靠近的理論，例如研究正則變換以求解正則方程；研究相空間代表點的軌跡，以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。
在量子力學未建立以前，物理學家曾用分析力學研究微觀現(xiàn)象的力學問題。從1923年起，量子力學開始建立并逐步完善，才在微觀現(xiàn)象的研究領(lǐng)域中取代了分析力學。但是，掌握分析力學的一些基本知識有助于學好量子力學。例如用分析力學知識求出哈密頓函數(shù)，再化成哈密頓算符，又自哈密頓-雅可比方程化成波動力學的基本方程──薛定諤方程等。
發(fā)源
從十八世紀開始，在力學發(fā)展史上又出現(xiàn)了與矢量力學并駕齊驅(qū)的另一力學體系，即分析力學。這個體系的特點是對能量與功的分析代替對力與力矩的分析。為了避免未知理想約束力的出現(xiàn)，分析力學的一種方法是在理想約束力與約束方程間建立起一種直接的關(guān)系，導出了比矢量力學一般方法程式化更為明顯的動力學方程－拉格朗日第一類方程。分析力學的另一種方法是從獨立坐標出發(fā)，利用純數(shù)學分析方法，將用獨立坐標描述的動力學方程用統(tǒng)一的原理與公式進行表達，克服了在矢量動力學中建立這種方程依賴技巧的缺點。這種統(tǒng)一的方程即拉格朗日第二類方程。上述工作均由拉格朗日(J.L.Lagrange)于1788年奠定的。以拉格朗日方程為基礎(chǔ)的分析力學，稱為拉格朗日力學。1834年哈密頓(Hamilton)將拉格朗日第二類方程變換成一種正則形式，將動力學基本原理歸納為變分形式的哈密頓原理，從而建立了哈密頓力學。
對于一個動力學系統(tǒng)，盡管建立該系統(tǒng)的拉格朗日第二類方程或哈密頓正則方程不依賴于技巧，但它的數(shù)學推導過程相當繁瑣，因此用來建立自由度比較多的系統(tǒng)動力學方程相當困難，并且容易出錯。利用拉格朗日第一類方程解決系統(tǒng)的動力學問題，與矢量動力學的一般方法一樣，盡管建立方程比較容易，但其求解規(guī)模很大。正是由于這個原因，在力學發(fā)展史上因拉格朗日第一類方程并不比矢量動力學一般方法優(yōu)越，而被擱置一邊。
隨著近代計算技術(shù)的發(fā)展，解決具有程式化特征的數(shù)學問題，規(guī)模再大也能迎刃而解。故解決動力學問題的拉格朗日第一類方程又引起廣泛的注意。可以這樣說目前在解決復雜動力學問題成功的計算機輔助分析軟件中，均采用拉格朗日第一類方程與加速度約束方程作為系統(tǒng)的動力學模型。
1834年，漢密爾頓推得用廣義坐標和廣義動量聯(lián)合表示的動力學方程，稱為正則方程。漢密爾頓體系在多維空間中，可用代表一個系統(tǒng)的點的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學問題。
哈密頓原理
哈密頓原理（應(yīng)該就是上文的漢密爾頓原理）是分析力學中的一條公理，無法再用更基本的理論推導出，其正確性只能由其解決的問題來證明。
再定義一個泛函，稱為作用量S（action）
在完整有勢系中，物體真實的運動一定會使作用量S取極值
應(yīng)用
一般力學的一個分支。以廣義坐標為描述質(zhì)點系的變量，以虛位移原理和達朗貝爾原理為基礎(chǔ)，運用數(shù)學分析方法研究宏觀現(xiàn)象中的力學問題。1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力學》為這門學科奠定了基礎(chǔ)。1834年和1843年W.R.哈密頓建立了哈密頓原理和正則方程，把分析力學推進一步。1894年H.R.赫茲提出將約束和系統(tǒng)分成完整的和非完整的兩大類，從此開始非完整系統(tǒng)分析力學的研究。分析力學的基本內(nèi)容是闡述力學的普遍原理，由這些原理出發(fā)導出質(zhì)點系的基本運動微分方程，并研究這些方程本身以及它們的積分方法。近20年來，又發(fā)展出用近代微分幾何的觀點來研究分析力學的原理和方法。分析力學是經(jīng)典物理學的基礎(chǔ)之一，也是整個力學的基礎(chǔ)之一。它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機器動力學與振動、航天力學、多剛體系統(tǒng)和機器人動力學以及各種工程技術(shù)領(lǐng)域，也可推廣應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學和相對論力學。
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